Ejercicios - Capítulo 5

En los ejercicios 1 al 8, grafique el ángulo indicado, encuentre su correspondiente complementario, suplementario y cotrerminal. Además convierta grados en radianes o radianes en grados.

  1. 30∘\hspace{0.1cm}30^{\circ}\\[0.1cm]
  2. 45∘\hspace{0.1cm}45^{\circ}\\[0.1cm]
  3. 60∘\hspace{0.1cm}60^{\circ}\\[0.1cm]
  4. 120∘\hspace{0.1cm}120^{\circ}\\[0.1cm]
  5. π9\hspace{0.1cm}\cfrac{\pi}{9}\\[0.1cm]
  1. 37π180\hspace{0.1cm}\cfrac{37\pi}{180}\\[0.3cm]
  2. 5π18\hspace{0.1cm}\cfrac{5\pi}{18}\\[0.3cm]
  3. 53π180\hspace{0.1cm}\cfrac{53\pi}{180}\\[0.3cm]

En los ejercicios 9 al 16. Demuestre que los puntos pertenecen al círculo unitario, halle las coordenadas faltantes o complete los triángulos rectángulos.

  1. (45    ,    −35)\left(\cfrac{4}{5}\;\;,\;\;\cfrac{-3}{5}\right)\\[0.3cm]
  2. (825    ,    −2425)\left(\cfrac{8}{25}\;\;,\;\;\cfrac{-24}{25}\right)\\[0.3cm]
  1. P(−35    ,        ),Cuadrante IIIP\left(\cfrac{-3}{5}\;\;,\;\;\;\;\right), \text{Cuadrante III}\\[0.3cm]
  2. P(        ,−725),Cuadrante IVP\left(\;\;\;\;,\cfrac{-7}{25}\right), \text{Cuadrante IV}\\[0.3cm]

En los ejercicios 17 al 24. Utilice el Teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas de los triángulos rectángulos para encontrar la solución.

  1. \hspace{0.1cm} Un carpintero tiene una tabla rectangular, con las dimensiones (en pulgadas) que se muesta en la siguiente figura, calcular el ángulo de inclinación α\alpha , el de elevación β\beta y las diagonales CE∧EDCE \wedge ED.
  2. Si en el ejercicio anterior el corte inferir fuera a la mitad de la tabla, como se muesta en la figura, calcular el ángulo de inclinación α\alpha , el de elevación β\beta, los demás ángulos y diagonales CE∧EDCE \wedge ED.
  3. Una cometa queda atorada en los cables de un poste de energía. Si el hilo de 18 metros de la cometa forma un ángulo de 30∘30^{\circ} con el suelo, estime a que altura esta la cometa y la distancia hasta su base.
  1. Movimiento armónico: El desplazamiento desde el equilibrio de una masaoscilante unida a un resorte es y(t)=4⋅Cos(3πt)y\left(t\right)=4\cdot Cos\left(3\pi t\right), donde "yy" se mide en pulgadas y "yy" en segundos. Calcule el desplazamiento en los tiempos indicados en la tabla.
  2. Circuito eléctrico: Después de que se cierra el interruptor en el circuito mostrado, la corriente t segundos más tarde es I(t)=0.8e−3t⋅Sen(10t)I(t)=0.8 e^{-3t}\cdot Sen \left(10t\right). Calcule la corriente en los tiempos: a.  t=0.1s b.t=0.5s\\[0.1cm]\text{a.}\; t =0.1 s\\[0.1cm]\text{ b.} t = 0.5 s
  3. Desde un cierto punto del terreno se mira a lo alto de una montaña y la visual forma un ángulo de 60∘60^{\circ} con el suelo. Al alejarse 200 m de la montaña, la visual forma 30∘30^{\circ} con el suelo. Halla la altura "hh" de la montaña y la distancia "ss", luego de alejarse los 200 m.
  4. El piloto de un avión que vuela a 2000 m de altura, divisa la ciudad de destino con un ángulo de depresión de 15∘15^{\circ}. A qué distancia está esa ciudad?.
  5. Calcular la altura de una antena de radio si su sombra mide 100 m cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 23∘23^{\circ} con la horizontal

En los ejercicios 25 al 32. Utilice la ley del seno o ley del coseno para encontrar la solución.

  1. En el paralelogramo ABCD la longitud del lado AB‾\overline{AB} es 14 metros, la de AD‾\overline{AD} es 8 metros y el ángulo m(∡DAB)m\left(\measuredangle DAB\right) es 80∘80^{\circ}. Halle la longitud de las diagonales del paralelogramo.
  2. Un rombo tiene un lado que mide 8.5 centímetros y un ángulo de base de 75∘75^{\circ}. Halle la longitud de las diagonales.
  3. Dos “boy scouts” quieren estimar la distancia entre su campamento situado en el punto AA y otro campamento en CC en el lado opuesto de un lago, como se muestra en la figura. Ellos marcan una línea desde su campamento hasta un punto BB a 50 metros. Si el ∡BAC\measuredangle BAC mide 88∘88^{\circ} y el $\measuredangleABC$ mide 75∘75^{\circ}. ¿Cuál es la distancia aproximada entre los dos campamentos?
  4. Alberto, Bernardo y Carlos están considerando la compra de un equipo de comunicaciones con un alcance de 200 metros. Bernardo vive al otro lado de una carrilera que pasa entre su casa y las de Alberto y Carlos. Hicieron el dibujo y tomaron las medidas que muestran la figura. ¿Puede cada uno de los muchachos comunicarse con los otros dos con el equipo?
  1. Un grupo de matemáticos se va a una cacería "de observación" de animales que se alimentan de carroña. Una parte de las indicaciones dice que hay una presa enterrada que se puede encontrar en la forma siguiente: "Un grupo debe hacer un circulo de guijarros tomando como centro el tronco AA y radio de 45 metros. Los otros participantes deben caminar hacia el oeste del tronco 75 metros hasta llegar a un punto BB, donde deben cambiar su rumbo hacia N44∘44^{\circ}E. La presa estará en la intersección CC de este camino con el circulo de guijarros". Juanita Martínez dice que esta parte de la cacería es una chanza. ¿Está en lo cierto?
  2. Un camionero parte de la bodega AA y viaja 40 kilómetros con rumbo N10∘10^{\circ}E hasta el punto BB, donde se vara por falla mecánica. Avisa por radio a su central CC, el cual se encuentra 20 kilómetros al oeste de la bodega. ¿A qué distancia de su central está detenido el camión?
  3. Un velero sale de una playa en el muelle AA y navega 4124\dfrac {1}{2} millas náuticas hacia el este. Luego cambia de rumbo y navega 2342\dfrac {3}{4} de millas en dirección N45∘45^{\circ}E.
    4. a.  ¿Cuaˊl es la distancia del velero al muelle?b.  ¿Cuaˊl es la distancia del velero al muelle?\text{a.\;¿Cuál es la distancia del velero al muelle?}\\[0.1cm] \text{b.\;¿Cuál es la distancia del velero al muelle?}
  4. Un poste vertical de 40 pies de altura se encuentra sobre una ladera que forma un ángulo de 17∘17^{\circ} con la horizontal, como se muestra en la figura. Calcule la longitud mínima de cable que llegará de lo alto del poste a un punto situado a 72 pies colina abajo desde la base del mismo.

En los ejercicios 33 al 40. Realice la demostración de las identidades trigonométricas (se presenta una posible solución).

  1. Sen2θ(1+Cot2θ)≡1Sen^2{\theta}\left(1+Cot^2{\theta}\right)\equiv 1
  2. Tanθ+Cotθ≡Sec  θ⋅Csc  θTan{\theta}+Cot{\theta}\equiv Sec\;{\theta}\cdot Csc\;{\theta}
  3. Tan  θ+Cosθ1+Senθ≡Sec  θTan\;{\theta}+\cfrac{Cos{\theta}}{1+Sen{\theta}}\equiv Sec\;{\theta}
  4. 1+Sen  α1−Sen  α−1−Sen  α1+Sen  α≡4Tan  α⋅Sec  α\cfrac{1+Sen\;{\alpha}}{1-Sen\;{\alpha}}-\cfrac{1-Sen\;{\alpha}}{1+Sen\;{\alpha}}\equiv 4Tan\;\alpha\cdot Sec\;{\alpha}
  1. Sen  θ(Csc  θ−Senθ)≡Cos2  θSen\;{\theta}\left(Csc\;\theta-Sen{\theta}\right)\equiv Cos^2\;{\theta}
  2. (1−Cos2  θ)(1+Cot2θ)≡1\left(1-Cos^2\;{\theta}\right)\left(1+Cot^2{\theta}\right)\equiv 1
  3. Cos  β(Tan  β+Cotβ)≡Csc  βCos\;{\beta}\left(Tan\;\beta+Cot{\beta}\right)\equiv Csc\;{\beta}
  4. Secθ−Tanθ≡1−Sen  θCos  θSec{\theta}-Tan{\theta}\equiv \cfrac{1-Sen\;{\theta}}{Cos\;{\theta}}

En los ejercicios 41 al 52. Resuelva las ecuaciones trigonométricas y exprese la solución en grados o radianes.

  1. 4Sen  θ⋅Cos  θ+6Senθ+2Cosθ+3=0\hspace{0.1cm}4Sen\;{\theta}\cdot Cos\;\theta+6Sen{\theta}+2Cos{\theta}+3= 0
  2. Cos  x+1=2Sen2  x\hspace{0.1cm}Cos\;x +1=2Sen^2\;x
  3. Sen  2x(Csc  2x−2)=0\hspace{0.1cm}Sen\;2x\left(Csc\;2x-2\right)=0
  4. Sen(θ+π4)=12\hspace{0.1cm}Sen\left(\theta+\cfrac{\pi}{4}\right)=\cfrac{1}{2}
  1. 2Sen  x⋅Cos2x=−32Cos  x\hspace{0.1cm}2Sen\;x\cdot Cos^2x=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}Cos\;x
  2. 1+Tan  α=Sec  α\hspace{0.1cm}1+Tan\;\alpha=Sec\;\alpha
  3. 2Cos2θ−3Cos  θ\hspace{0.1cm}2Cos^2\theta-3Cos\;\theta
  4. Sen  2x+Sen  x=0\hspace{0.1cm}Sen\;2x+Sen\;x=0
  1. 3+2Sen  beta=0\hspace{0.1cm}\sqrt{3}+2Sen\;beta=0
  2. Sen(2−π3)=12\hspace{0.1cm}Sen\left(2-\cfrac{\pi}{3}\right)=\cfrac{1}{2}
  3. Sec  x⋅Sen2x=Tan  x\hspace{0.1cm}Sec\;x\cdot Sen^2x=Tan\;x
  4. 1+Cot  θ=Csc  θ\hspace{0.1cm}1+Cot\;\theta=Csc\;\theta